Inercia y rozamiento

Vivimos rodeados de aire. La superficie de la tierra es el fondo de un gran océano de aire, que es la atmósfera,  en el que se desarrolla toda nuestra vida. Y se ha desarrollado siempre, no sólo desde los orígenes de la humanidad sino de la vida misma. Esto hace que estemos tan adaptados a ese entorno que nos resulta prácticamente imperceptible. Si no fuera por el viento, hasta nos resultaría difícil encontrar pruebas de su existencia. Es especialmente interesante su invisibilidad, pero eso lo dejaremos para otro día,  hoy nos interesa el rozamiento.

Una de las razones de que la física del movimiento resulte tan poco intuitiva, seguramente la principal, es que en la realidad cotidiana todo lo que se mueve lo hace con rozamiento (con el aire y con la superficie por la que se desplaza el móvil). Sin embargo las leyes del movimiento describen lo que ocurriría sin rozamiento. Galileo fue el primer científico que tuvo la visión de suponer un movimiento ideal, sin rozamiento, e introducir éste después como un efecto extra que estropeaba un poco las cosas.

La ley de la inercia dice que "todo cuerpo tiende a permanecer en el estado de movimiento en que se encuentre, en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme" (ahora que lo escribo me doy cuenta de la cantidad de jerga que se utiliza aún para los enunciados más sencillos). Según esta ley si algo se está moviendo en linea recta y con velocidad constante, seguirá haciéndolo indefinidamente. Lo cual todos sabemos que es mentira, y además por mucho: las cosas se paran enseguida. Y claro, cuando se dice que eso "es por el rozamiento" hay que creérselo. De alguna forma estamos proponiendo una ley que no se cumple y echándole la culpa del incumplimiento a algo misterioso (que tampoco se ve fácilmente) y que mágicamente tiene la magnitud justa para reconciliar la ley con el comportamiento observado. En esta explicación el rozamiento es tan creíble como como un fantasma. Afortunadamente existen situaciones en las que las leyes del movimiento se cumplen con una perfección extraordinaria: los movimientos de los cuerpos celestes, que se desplazan en un entorno casi sin rozamiento o los movimientos de partículas subatómicas (como los electrones que generaban la imagen en las teles de antes, las del culo gordo).

Para darse cuenta de lo grande que es el rozamiento cotidiano propongo los siguientes vídeos. En ambos se produce un movimiento de giro de piezas metálicas sobre vidrio, con una superficie de contacto mínima, y entre superficies duras, que rozan muy poco entre sí. En el primer caso es un disco (llamado disco de Euler, pero que no lo inventó Euler) que gira de una forma particular, apoyándose en un punto cada vez, lo que minimiza mucho el rozamiento. Eso hace que el disco se mueva mucho más tiempo del que esperaríamos intuitivamente. Es un sistema con un rozamiento muy inferior al habitual:

Más llamativo aún es el caso de dos esferas metálicas soldads que se ponen a girar ("bolas huracán" les llaman). Por un lado es curiosísimo el efecto de aceleración que les produce soplar por un tubo fino, y por otro resultan fantásticas las reflexiones de la luz, creando unos efectos visuales muy llamativos.

Los detalles del movimiento de los dos sistemas (el disco y las bolas) no son sencillos, pero son buenos ejemplos de lo largo que se hace el movimiento cuando el rozamiento es mucho más bajo de lo habitual.

Visualización del teorema de Pitágoras

Dos figuras, cuadrados del mismo tamaño. En el primero hay cuatro triángulos (rectángulos) iguales, y el espacio restante es un cuadrado cuyo lado es la hipotenusa del triángulo rectángulo, de cualquiera de ellos.

En la segunda figura los mismos cuatro triángulos están colocados de otra forma, emparejados dos a dos. El espacio restante lo ocupan dos cuadrados, y cada uno tiene como lado uno de los catetos.

Como los dos cuadrados grandes, son iguales, y en ambos hay cuatro triángulos iguales, el espacio restante (cuadrado menos cuatro triángulos) ha de ser igual en las dos figuras, luego el cuadrado rosa es igual a la suma de los cuadrados azules, que es el enunciado del teorema de Pitágoras, qed.

O directamente sin palabras:

El significado del teorema de Pitágoras, el hecho de que se conocía empíricamente antes pero él fue quien lo formalizó y cómo fue su prueba (que es muy parecida a esta "visualización) está contado en los siguientes 7 minutos de vídeo (en inglés, eso si) por uno de los primeos grandes divulgadores científicos televisivos, Jacob Bronowski:

La anterior construcción se puede realizar también en papiroflexia (ver aquí, en 3,14 minutos curiosamente). Menos demostrativo, pero también curiosa y muy bonita es esta construcción en la que se comprueba que el agua que cabe en el cuadrado de la hipotenusa es la misma que llena los dos cuadrados de los catetos (con el mismo espesor, se supone):

Cuando en vez de entenderlo se intenta simplemente recordar es muy fácil equivocarse. Para muestra un par de ejemplos: el espantapájaros del mago de Oz y Homer Simpson. Al final del vídeo se arregla el entuerto:

Es impresionante la cantidad de vídeos sobre el teorema de Pitágoras que se pueden encontrar en la red, pero con los que llevamos vistos debería ser suficiente

Un par de referencias muy interesantes: demostraciones visuales, representaciones artísticas del teorema.

Dibujar raíces cuadradas

Ayer me encontré (por Fran Hidalgo en G+) una preciosa construcción geométrica que muestra como se pueden calcular dibujando las raíces cuadradas de los números naturales. 

Para comprobarlo sólo hace falta el teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo de catetos 1 (el primero) es claro que la hipotenusa valdrá raíz de 2. En el segundo triángulo los catetos valen 1 y raíz de 2, luego el cuadrado de los catetos es 1 y 2, que suman 3, con lo que la longitud de la hipotenusa es raíz de 3. Y así sucesivamente con todos los triángulos. Construyendo un ángulo recto y midiendo sobre él una unidad avanzamos un número más.

No sé si la figura estará realmente bien construida, porque en esa sucesión de triángulos el ángulo que comparten, el que pincha el centro, se va haciendo progresivamente más pequeño (aunque no demasiado). Cada ángulo tiene como tangente 1 dividido por la raíz correspondiente (el cateto opuesto siempre es 1 y el contiguo es la raíz que veíamos). Así que para el primero el ángulo es 45º, pero para el tercero 30º, y en el 17 ha bajado hasta 13,6º. La verdad es que así a ojo es fácil ver si el último ángulo cabe tres veces y media en el primero, probablemente si.

Dándole vueltas a esta figura me he acordado de Don Aurelio, el profesor que me dio clase de dibujo técnico en 1º de BUP y filosofía en 3º de BUP y COU. Era un personaje verdaderamente convencido de lo que explicaba, que se declaraba platónico y que asumía personalmente el lema de la Academia "que nadie entre aquí si no sabe geometría".

Decía al principio que para comprobar la construcción de la figura sólo necesitamos el teorema de Pitágoras. Esa maravilla que está en el borde entre lo evidente y lo incomprensible está explicada con detalle en ESTA otra entrada.

La duración de un año

Con eso de que éste es un año bisiesto, y acercándose al 29 de febrero (the leap day en inglés), se han publicado muchas cosas al respecto; como la razón del nombre bisiesto, bis sexto, la repetición del sexto día (antes de las calendas de marzo) (ver el artículo de Javier Armentia), que se introdujo en tiempos de Julio Cesar, o que es el único día en que las mujeres estaban autorizadas a pedir matrimonio a los hombres. Asomarse a la historia de los calendarios da para mucho más de lo que parece.

Me han gustado especialmente dos vídeos, uno centrado en la definición de "un año", que resulta menos evidente de lo que parece cuando se quiere precisar, de hecho hay al menos tres definiciones posibles y no so idénticas. El segundo explica el desajuste de las estaciones que requiere del día bisiesto y y cómo se fija este en el calendario moderno. Ahí van (entre los dos apenas pasan de 5 minutos, están en inglés)

El ruido de la tetera

Tengo en el despacho un electrodoméstico para hervir agua, ese que los ingleses llaman kettle y que no tiene una traducción adecuada en castellano. En el fondo de un recipiente donde se coloca el agua, una resistencia eléctrica le comunica el calor necesario para hacerla hervir.

La secuencia de sonidos cuando se conecta es muy característica: silencio, comienzo de un ruido grave que va aumentando en intensidad, disminución del mismo, silencio y comienzo de un ruido más agudo e irregular, el clásico borboteo del agua hirviendo. ¿En que consiste el primer ruido?

El proceso de transferencia de calor desde la resistencia al agua es más complejo de lo que parece, y además es un fenómeno que está muy alejado del equilibrio. Aunque nos cueste imaginarlo, puede haber diferencias de muchos grados de un punto a otro del agua. Cuando la temperatura llega a la de ebullición, esto ocurre en la capa más próxima a la resistencia. Allí se crean burbujas que, al alejarse de la resistencia, entran en el agua más fría y vuelven a fase líquida: colapsan con brusquedad produciendo las ondas sonoras que percibimos como el sonido grave. Este proceso se conoce como "ebullición nucleada".

Las burbujas se alejan de la resistencia porque pesan menos que el aire, por tanto tienden a ascender por el líquido, siendo reemplazado su lugar por agua más fría de arriba. Obviamente para que esto ocurra hace falta que las cosas pesen, es decir que haya gravedad. Este asunto se experimentó en alguna de las misiones de la NASA en microgravedad dando como resultado algo muy distinto: en vez de muchas burbujitas aparecía una burbuja gorda; en vez de un mecanismo muy eficiente de transporte de calor entre su fuente (la resistencia) y el líquido, se creaba una película aislante que lo dificultaba. Véase el vídeo aquí debajo: a la derecha la ebullición en microgravedad, a la izquierda con gravedad normal.

El fenómeno de la ebullición nucleada tiene mucha similitud con la "cavitación". En ésta, las burbujitas se crean por una disminución local de presión en vez de por un aumento de la temperatura. Cuando un fluido se acelera su presión disminuye (cosa que se desprende de la conservación de la energía, reformulada en fluidos como principio de Bernouilli). Así, al pasar el fluido por un estrechamiento (vale un obstáculo) se acelera y con ello disminuye su presión. Si la velocidad es suficiente, esa disminución de presión será suficiente como para hacer hervir el agua a temperatura ambiente; eso sí, de forma local. Cuando las burbujitas se alejan del estrechamiento y la presión vuelve a subir colapsan de nuevo, igual que ocurría en la ebullición nucleada, y hacen el mismo ruido. En el siguiente vídeo (en inglés) se muestra (y explica) el proceso de cavitación.

Un experimento casero sencillísimo y muy recomendable es poner un cazo con agua a hervir en la cocina de casa e ir siguiendo las distintas etapas que se suceden:
- Aparecen burbujas en las paredes y fondo (de aire que percipita al disminuir su solubiulidad con la temperatura).
- Se ven "corrientes de convección" gracias a la variación del índice de refracción del agua con la temperatura. Esto es más visible si la película de agua no es muy gruesa, y en aceite se aprecian quizá mejor aún.
- Comienzan a aparecer las burbujitas de la ebullición nucleada. Por cierto, si se echa un poco se sal en ese momento aumentan las burbujas: se han añadido más centros de nucleación.
- Finalmente, las burbujas son grandes y llegan a la superfiice sin haber colapsado. Estamos ya en la fase de ebullición franca.

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Encontré información sobre los sonidos de la tetera (en inglés) aquí, y en esa misma página hacen referencia al experimento de la NASA, ya mencionado. 

Esta entrada fue publicada por primera vez, en el otro blog, el 26 de octubre de 2008

Arroz y convección

En casa suelo hacer el arroz en la olla exprés, pero en la casa en que vivimos este año no hay olla, así que volvemos a los pucheros de siempre. El de esta noche, tras dejarlo reposar ha quedado como muestra la foto adjunta. No la pongo para demostrar el punto en el que ha quedado el arroz, sino por la curiosidad de ese conjunto de puntitos que se aprecian, agujeros en la masa de arroz. 

¿De dónde salen esos agujeros? se trata de la traza que han dejado las "celdas de convección" del agua en la que ha cocido el arroz. La convección es el movimiento que se produce en los fluidos cuando se los calienta localmente, y se debe a que el fluido caliente es menos denso que frío. El aire caliente sube, y el hueco que deja lo ocupa aire más frío de alrededor. Los radiadores de la calefacción ponen en movimiento el aire de ese modo, lo que suele notarse con los años por el polvo que va arrastrando esa corriente y que dibuja sombras en la pared encima de los radiadores.

Si en vez de tener una fuente de calor puntual (más o menos) como un radiador o una hoguera bajo la chimenea tenemos una fuente extensa la cosa se complica un poco. Es el caso de un poco de agua en el fondo de una cacerola puesta al fuego. Toda la superficie inferior se calienta a la vez y no encuentra un camino directo para subir y ser sustituida por agua de más arriba. Lo que ocurre entonces es que la convección se rompe en "celdas": por unos puntos sube el agua caliente y por otros baja el agua fría. En la figura de la derecha se muestra esquemáticamente como se forman un conjunto de células de convección.

En el caso del arroz, el agua calentada por la cocina estaba circulando de esa manera: subía por unos puntos y bajaba por otras zonas. Los granos de arroz han ido siendo transportados por ese movimiento y, a medida que se ha consumido el agua por absorción y evaporación, han conservado la forma de ese movimiento. Los huecos que aparecen en la foto como puntos oscuros son las chimeneas por las que subía el agua.

En condiciones ideales las celdas de convección son todas iguales y se empaquetan dando lugar a formas geométricas. El experimento (no buscado) del arroz ha sido suficientemente tranquilo como para apreciar las celdas, pero no tanto como para que se aprecie en ellas una estructura geométrica muy precisa.

En la cocina se pueden ver celdas de convección muy bonitas al calentar una lámina aceite (de entre 3 y 5mm) en una sartén. Otra observación cotidiana debida a celdas de convección la encontramos en determinadas formaciones de nubes: los "borreguitos" o esas veces que parece que se la ha pasado un peine gigante a una nube fina y tenue. En ambos casos se trata de celdas de convección en una lámina de aire en la que flota la nube, que se rompe en esas formaciones. Dependiendo de las condiciones las celdas son bidimensionales (como en el arroz) salen "borreguitos" o son lineales, como churros, y dan lugar a las nubes rayadas.

Las celdas de convección son responsables de multitud de fenómenos meteorológicos y geológicos. De hecho algunos volcanes son algo parecido a los puntitos del arroz sólo que lo que sube es lava. También las manchas solares tienen un origen en cierto modo análogo, solo que con la convección complicada por campos magnéticos. Una última curiosidad es que las fronteras de las celdas de convección dibujan conjuntos de Voronoi de los que hablaba @ClaraGrima hace unas semanas en Amazings. Pero dejémoslo ya que se pasa el arroz.

Docenas de átomos (moles)

La forma común de comprar huevos es por docenas: paquetes con un número concreto de huevos (obviamente doce). Cuando uno se refiere a átomos, también es común referirse a ellos por paquetes con un número concreto, sólo que en este caso el número es muy grande. Se les podía haber llamado "megadocenas" (o "terapartículas", como sugiere la wikipedia), pero no, razones históricas han hecho que al paquete de átomos se le llame con el esotérico nombre de MOL.

La culpa de buena parte de los líos que hay con este concepto la tiene su historia, que no sólo es responsable de su nombre, sino también de una extraña definición que hace referencia a lo que pesa un mol de algo. Esa definición tenía sentido cuando se inventó y no se sabía lo de las docenas, pero ahora no merece la pena recordarlo.

¿Qué es un mol? es una docena en la que en vez de 12 es otro número, grande y con nombre propio, el número de Avogadro 6,022 x10²³.

Esto venía a propósito de una problema que comentábamos en casa esta tarde: en una disolución de cloruro de calcio (expresada como "molaridad", es decir moles por litro) preguntaban cuántos moles de iones de cloro y calcio habría. La molécula de cloruro de calcio tiene un calcio y dos cloros, igual que la figura de lego tiene una ficha azul y dos blancas. Por cierto, a la izquierda tenemos 1/3 de docena de cloruro de calcio. Evidentemente, si desmontamos las fichas tendremos 4 piezas azules (1/3 de docena) y 8 blancas (2/3 de docena). Del mismo modo si tenía X moles del producto en cada litro, tendré X de calcio y 2X de cloro.

Fin de "que es un mol". Ahora vamos con lo que pesa, lo que complica un poco la historia.

Para saber el peso de una docena de huevos no tengo más que saber cuánto pesa un huevo y multiplicar por 12. En este caso sabemos por cuanto hay que multiplicar, el número del tal Avogadro (Nav), luego sólo nos queda saber cuánto pesa un átomo. Pero ahí está el problema, nunca nadie ha pesado un átomo. Mediante procedimientos indirectos se pueden saber las relaciones de pesos entre unos y otros, pero falta una unidad de referencia. Históricamente se tomo como unidad el átomo de hidrógeno (y después 1/12 del isótopo 12 del carbono, tecnicismos orientados a la precisión), pero seguimos con la duda, ¿cuánto pesa un átomo de hidrógeno (o el doceavo ese del carbono)? Pues para hacer las cuentas fáciles decimos que pesa una unidad, una "unidad atómica de masa". Así ya sabemos que el helio pesará 2, y el carbono 12 (el isótopo 12). ¿Pero cuánto es eso en gramos? ¿Cuál es la masa de una "unidad atómica de masa"? Aquí viene la genialidad (y la madre de buena parte del lío que se hacen miles de estudiantes ocn estas cosas) definimos 1 u.a.m. como 1/Nav gramos. Es decir que si juntamos el Nav de átomos de hidrógeno en total tendrán una masa de 1 gramo. Y el Nav de átomos de helio tendrá una masa de 2 gramos y así sucesivamente. Las docenas de huevos más gordos pesan más que las de huevos más pequeños, evidentemente.

Con este razonamiento hemos llegado a saber que un mol de una sustancia pesa lo mismo, en gramos, que un átomo de esa sustancia en unidades atómicas de masa. Pero si le damos la vuelta a todo e intentamos comenzar la explicación a partir de esta "definición" de mol va a estar muy jorobado entender nada.

Me ha costado encontrar un vídeo dónde se separara lo que es y lo que pesa el mol, y el mejor que he encontrado es este, y aunque enseguida pasa a la masa, complementa bien lo anterior.