Dibujar raíces cuadradas

Ayer me encontré (por Fran Hidalgo en G+) una preciosa construcción geométrica que muestra como se pueden calcular dibujando las raíces cuadradas de los números naturales. 

Para comprobarlo sólo hace falta el teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo de catetos 1 (el primero) es claro que la hipotenusa valdrá raíz de 2. En el segundo triángulo los catetos valen 1 y raíz de 2, luego el cuadrado de los catetos es 1 y 2, que suman 3, con lo que la longitud de la hipotenusa es raíz de 3. Y así sucesivamente con todos los triángulos. Construyendo un ángulo recto y midiendo sobre él una unidad avanzamos un número más.

No sé si la figura estará realmente bien construida, porque en esa sucesión de triángulos el ángulo que comparten, el que pincha el centro, se va haciendo progresivamente más pequeño (aunque no demasiado). Cada ángulo tiene como tangente 1 dividido por la raíz correspondiente (el cateto opuesto siempre es 1 y el contiguo es la raíz que veíamos). Así que para el primero el ángulo es 45º, pero para el tercero 30º, y en el 17 ha bajado hasta 13,6º. La verdad es que así a ojo es fácil ver si el último ángulo cabe tres veces y media en el primero, probablemente si.

Dándole vueltas a esta figura me he acordado de Don Aurelio, el profesor que me dio clase de dibujo técnico en 1º de BUP y filosofía en 3º de BUP y COU. Era un personaje verdaderamente convencido de lo que explicaba, que se declaraba platónico y que asumía personalmente el lema de la Academia "que nadie entre aquí si no sabe geometría".

Decía al principio que para comprobar la construcción de la figura sólo necesitamos el teorema de Pitágoras. Esa maravilla que está en el borde entre lo evidente y lo incomprensible está explicada con detalle en ESTA otra entrada.